§1 ベクトル空間と部分空間

本題に入る前に一つだけ集合を定義する
集合Kをℝまたはℂとする．

A) ベクトル空間

def 1.1.

ベクトル空間
集合 $V(\neq\varnothing)$ に $2$ つの演算

	$\displaystyle+:V\times V\rightarrow V(\bm{x}\bm{y})\rightarrow\bm{x}\bm{y}$
	$\displaystyle\cdot:K\times V\rightarrow V(\lambda\bm{y})\rightarrow\lambda\bm{x}$

が定義され，以下の8つの公理を満たす $V$ を $K$ 上ベクトル空間（ $K-$ ベクトル空間）と呼ぶ．

$(VS\mathrm{i})$

$\forall\bm{x}\bm{y}\bm{z}\in V$ に対し， $(\bm{x}+\bm{y})+\bm{z}=\bm{x}+(\bm{y}+\bm{z})$
$(VS\mathrm{ii})$

$\forall\bm{x}\bm{y}\in V$ に対し， $\bm{x}+\bm{y}=\bm{y}+\bm{x}$
$(VS\mathrm{iii})$

$\exists\mathbb{0}\in V\forall\bm{x}\in V$ に対し， $\bm{x}+\mathbb{0}=\mathbb{0}+\bm{x}=\bm{x}$
$(VS\mathrm{iv})$

$\forall\bm{x}\in V\exists\bm{x}^{\prime}\in Vs.t.~{}\bm{x}+\bm{x}^{\prime}=\bm% {x}^{\prime}+\bm{x}=\mathbb{0}$
$(VS\mathrm{v})$

$\forall\lambda\in K\forall\bm{x}\bm{y}\in V$ に対し， $\lambda(\bm{x}\bm{y})=\lambda\bm{x}+\lambda\bm{y}$
$(VS\mathrm{vi})$

$\forall\lambda,\mu\forall\bm{x}\in V$ に対し， $(\lambda+\mu)\bm{x}=\lambda\bm{x}+\mu\bm{x}$
$(VS\mathrm{vii})$

$\forall\lambda,\mu\forall\bm{x}\in V$ に対し， $\lambda(\mu\bm{x})=(\lambda\mu)\bm{x}$
$(VS\mathrm{viii})$

$\forall\bm{x}\in V$ に対し， $1\cdot\bm{x}=\bm{x}$

以降この公理に則って議論することが多いためこの8つの条件を記憶することが推奨される．

prop 1.2.

$V:K-$ ベクトル空間

$(1)$

$V$ のゼロベクトルは一意に存在する．
$(2)$

$\forall\bm{x}\in V$ に対して，その逆ベクトルは一意に定まる．
$(3)$

$\forall\bm{x}\in V$ に対して， $\mathbb{0}\cdot\bm{x}=\mathbb{0}$
$(4)$

$\forall\lambda\in K$ に対して， $\lambda\cdot\mathbb{0}=\mathbb{0}$

proof:

Remark 1.3.

$\forall\bm{x}\bm{y}\in V$ に対し，
$\bm{x}-\bm{y}\coloneqq\bm{x}+(-y)=\bm{x}+(-1\cdot\bm{y})$

ここで注意すべきなのは， $\bm{y}$ は $\bm{y}$ の逆元であり，一方 $-1\cdot\bm{y}$ はスカラー倍の意味であり， $\bm{y}=-1\cdot\bm{y}$ が成り立つことを言っている．証明は各自

ex 1.4.

$K^{n}\coloneqq\left\{\begin{pmatrix}\bm{x}_{1}\\ \vdots\\ \bm{x}_{n}\\ \end{pmatrix}\middle|\bm{x}_{i}\in K~{}1\leq i\leq n\right\}$
は数ベクトルの和とスカラー倍において，ベクトル空間となる．
また，この $K^{n}$ を $K-$ 数ベクトル空間と呼ぶ．

ex 1.5.

$M(m,n;K)\coloneqq\left\{\begin{pmatrix}\bm{x}_{11}&\cdots&\bm{x}_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \bm{x}_{m1}&\cdots&\bm{x}_{mn}\end{pmatrix}\middle|\begin{matrix}x_{ij}\in K\\ 1\leq i\leq m,1\leq i\leq n\end{matrix}\right\}$
は行列の和とスカラーにおいて，ベクトル空間となる．
この $M(m,n:K)$ を $K-$ 行列空間と呼ぶ．

ex 1.6.

$K[x]\coloneqq\{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\mid n\geq 0,a_{i}\in K,1\leq i% \leq n\}$
は多項式の和とスカラー倍において，ベクトル空間となる．
また，この $K[x]$ を $K-$ 多項式空間と呼ぶ．
とくに， $K$ の元は定数多項式とみなせすことができ，この意味において， $K\subset K[x]$ が成り立つ．

B) 部分空間

def 1.7.

部分空間
$V:K-$ ベクトル空間， $\varnothing\neq W\subset V$ について， $W$ が $V$ の部分空間であるとは，つぎの２つの条件を満たすことである．

$(ss\mathrm{i})$

$\forall\bm{x},\bm{y}\in W~{}\bm{x}+\bm{y}\in W$
$(ss\mathrm{ii})$

$\forall\lambda\in K\forall\bm{x}\in W~{}\lambda\bm{x}\in W$

Remark 1.8.

$W$ が $V$ の部分空間 $\Rightarrow\mathbb{0}\in W$

proof: □
この対偶命題から， $\mathbb{0}\notin W\Rightarrow W$ は $V$ の部分空間でない
が成り立つ．

ex 1.9.

$V:K-$ ベクトル空間
この時， $\{\mathbb{0}\}$ は $V$ の部分空間となる．
この $\{\mathbb{0}\}$ を自明な部分空間と呼ぶ．

ex 1.10.

$A\in M(m,n;k)$ に対し，
$W_{A}\coloneqq\{\bm{x}\in K^{n}\mid A\bm{x}=\mathbb{0}\}$ で定めると，この $W_{A}$ は $K^{n}$ の部分空間となる．

一方で， $\{\bm{x}\in K^{n}\mid A\bm{x}=\mathbb{b}\}(\mathbb{b}\neq\mathbb{0})$ は部分空間にならないことが簡単にわかる．

ex 1.11.

$X=[x_{i}j]\in M(n;K)$ に対し，
$W=\{X\in M(n;K)\mid Tr(X)=0\}$ は $M(n;K)$ の部分空間となる．

ex 1.12.

$f(x)\in K[x]$ に対し，
$deg~{}f(x)\coloneqq\left\{\begin{aligned} &n\qquad\quad(f(x)=a_{0}+a_{1}x+% \cdots+a_{n}x^{n}(a_{n}\neq 0))\\ &-\infty\quad~{}~{}(f(x)=0)\end{aligned}\right.$ を $f(x)$ の次数と呼ぶ
この時， $n\geq 0$ として，

K[x]_{n}\coloneqq\{f(x)\in K[x]\mid deg~{}f(x)\leq n\}

は $K[x]$ の部分空間となる．

def 1.13.

$V:K-$ ベクトル空間
$\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{r}\in V$ をとる．

$(1)$

$c_{1},\dots,c_{r}\in K$ に対し， $c_{1}\bm{x}_{1}+\cdots+c_{r}\bm{x}_{r}\in V$ を $bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{r}$ の線型結合と呼ぶ．
$(2)$

$<\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{r}>\coloneqq\{c_{1}\bm{x}_{1}+\cdots+c_{r}\bm{x}_{r}% \in V\mid c_{1},\dots,c_{r}\in K\}$ を $\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{r}$ で生成される（張られる）部分空間と呼び，また， $\{\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{r}\}$ をその生成系と呼ぶ．